利用二项式系数的性质证明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 15:49:48
利用二项式系数的性质证明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，并由此计算（x-1(x-2)(x-3)...(x-10)展开式中x^8的系数

[分析]
令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)
考察它的x^(n-2)的系数，设为A

从二项式拆解的方向看
A是从1~n之间任意的取两个不同数相乘，然后得其和便是，那么这里我们把Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2给它加上去，此时
A+Sn=n(n+1)/2*n(n+1)/2=[n(n+1)/2]^2

从多项式的根与系数的关系上看有
A=(n+1)n(n-1)(3n+2)/12
从而Sn=n(n+1)(2n+1)/6

当n=10时，x^8的系数是11*10*9*32/12=2640

PS 貌似另一个角度有点问题，得思考一下